(arranjo, combinação e permutação)
Análise combinatória é a parte da Matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento (evento) sem, necessáriamente, descrever todas as possibilidades.
Vamos resolver alguns problemas, descrevendo todas as possibilidades possíveis de um acontecimento:
Primeiro exemplo: quatro carros (c1, c2, c3 e c4) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?
c1 c2 c3 | c2 c1 c3 | c3 c1 c2 | c4 c1 c2
c1 c2 c4 | c2 c1 c4 | c3 c1 c4 | c4 c1 c3
c1 c3 c2 | c2 c3 c1 | c3 c2 c1 | c4 c2 c1
c1 c3 c4 | c2 c3 c4 | c3 c2 c4 | c4 c2 c3
c1 c4 c2 | c2 c4 c1 | c3 c4 c1 | c4 c3 c1
c1 c4 c3 | c2 c4 c3 | c3 c4 c2 | c4 c3 c2
Como pode ser visto existem 24 possilidades dos 4 carros chegarem nos 3 primeiros lugares. Também poderia usar uma fórmula direta 4*3*2=24. Em outras palavras, o 4 representa a quantidade de carros e a mutilplicação dele com 3 e 2 foi por causa da quantidade de possibilidade que eram três, pois 4, 3 e 2 representam três números em ordem decrescente a partir do número 4. Então, se for pegado os três números em ordem decrescente a partir do 4, se têm 4, 3 e 2.
Segundo exemplo: num hospital existem 3 portas de entrada (p1, p2 e p3) que dão para um saguão no qual existem 4 elevadores (e1, e2, e3 e e4). Um visitante deve se dirigir ao quinto andar, utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?
p1 e1 | p2 e1 | p3 e1
p1 e2 | p2 e2 | p3 e2
p1 e3 | p2 e3 | p3 e3
p1 e4 | p2 e4 | p3 e4
Como pode ser visto, existem 12 maneiras diferentes para chegar no quinto andar. Também, poderia multiplicar 3x4=12.
Terceiro exemplo: no Brasil as placas de automóveis são formadas por 3 letras e 4 algarismos. Usando o alfabeto de 26 letras, quantas placas podem ser formadas?
26*26*26*10*10*10*10 = 175.760.000
Arranjo é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos que o compõe.
Primeiro exemplo: quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser formados, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4, 5?23 | 32 | 42 | 52
24 | 34 | 43 | 53
25 | 35 | 45 | 54
Resposta: 16 números. Observe que os grupos (números ou elementos) diferem entre si pela ordem dos elementos (ex: 23 e 32) e pelos elementos que o compõe (natureza) (ex: 25 e 43). Os grupos assim obtidos são denominados arranhos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e indicamos A4,2.
Combinação é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos que o compõe.
Primeiro exemplo: quantos grupos de 2 pessoas podem ser formados com 5 alunos (A, B, C, D e E) de uma classe?AB |
AC | BC |
AD | BD | CD |
AE | BE | CE | DE |
Resposta: 10 grupos. Observe que os grupos AB e BA representam o mesmo grupo. Os alunos A e B não importa a ordem, forma apenas um grupo. Isto significa que um mesmo grupo foi contado duas vezes. Portanto, o total de grupos é 20/2=10. Então, os grupos obtidos diferem entre si pelos elementos que o compõe (natureza), não importando a ordem (posição) em que aparecem. Os grupos assim obtidos são denominados combinações simples dos 5 elementos tomados 2 a 2 e indicamos C5,2.
Permutação é o tipo de agrupamento em que cada grupo entram todos os elementos.
Primero exemplo: quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados, usandos os algarismos (elementos) 2, 4, 5?2 4 5 | 4 2 5 | 5 2 4
2 5 4 | 4 5 2 | 5 4 2
Observe que os grupos (números) assim obtidos diferem um do outro apenas pela ordem dos elementos (ex: 245 e 254). Os grupos assim obtidos são denominados permutações simples dos 3 elementos tomados 3 a 3 e indicamos P3. Veja que a permutação simples é um caso particular de arranjo simples, isto é, A3,3 = P3
Para reconhecermos se um problema envolve arranjos ou combinações, procedemos da seguinte maneira. Primeiro, pegamos um agrupamento qualquer que satisfaça o problema. Segundo, invertemos a ordem de 2 elementos desse agrupamento. Terceiro, se com a inversão desses elementos encontrarmos um novo agrupamento, o problema envolvido é de arranjos e, se o agrupamento for o mesmo, o problema envolvido é de combinação.
Na prática, não escrevemos todos os agrupamentos formados, interessa-nos somente a quantidade desses agrupamentos, em outras palavras, o resultado. Neste item, vamos desenvolver técnicas de contagem que facilitam a resolução dos exercícios.
Quantas palavras de duas letras distintas podemos formar com as letras A, B, C e D?
AB | BA | CA | DA
AC | BC | CB | DB
AD | BD | CD | DC
AE | BE | CE | DE
Resposta: 12 palavras, ou seja, A4,2 = 12
Veja que:
com 4 letras, formando palavras de 2 letras => o resultado será 4.3 (2 fatores)
Observe que:
com 4 letras, formando palavras de 3 letras => o resultado será 4.3.2(3 fatores)
com 5 letras, formando palavras de 2 letras => o resultado será 5.4(2 fatores)
com 5 letras, formando palavras de 3 letras => o resultado será 5.4.3(3 fatores)
com 5 letras, formando palavras de 4 letras => o resultado será 5.4.3.2(4 fatores)
com 6 letras, formando palavras de 2 letras => o resultado será 6.5(2 fatores)
com 6 letras, formando palavras de 3 letras => o resultado será 6.5.4(3 fatores)
com 6 letras, formando palavras de 4 letras => o resultado será 6.5.4.3(4 fatores)
com n letras, formando palavras de 2 letras => o resultado será n (n-1)(2 fatores)
com n letras, formando palavras de 3 letras => o resultado será n (n-1) (n-2)(3 fatores)
com n letras, formando palavras de 4 letras => o resultado será n (n-1) (n-2) (n-3)(4 fatores)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
com n letras, formando palavras de p letras => n (n-1) (n-2) (n-3) ... (n-p+1)(p fatores)
Generalizando:
O número de arranjos simples de "n" elementos em grupos de "p" elementos é dados por:
An,p = n (n-1) (n-2 (n-3) ... (n-p+1)
Então lembre-se que An,p é o arranjo simples de "n" elementos tomados "p" a "p" e que o número de fatores é o valor de "p".
Exemplos:
a) A6,2 = n(n-p+1) = 6(6-2+1) = 6.5 = 30 (2 fatores)
b) A9,4 = n (n-1) (n-2) (n-p+1) = 9 (9-1) (9-2) (9-4+1) = 9.8.7.6 = 3024 (4 fatores)
c) A4,2 = 4.3 = 12 (2 fatores)
d) A5,4 = 5.4.3.2 = 20.6 = 20
A3,2 3.2 6
e) A7,4 - A7,3 = 7.6.5.4 - 7.6.5 = 840 - 210 = 630
f) Ax,4 = 5Ax,3 => x(x-1)(x-2)(x-3)=5x(x-1)(x-2) => x
g) Ax,2 = 12 => x(x-1)=12 => x2-x-12=0(equação do segundo grau)
Raciocine comigo:
A7,4 = 7.6.5.4 = 7.6.5.4.3! = 7! = 7!
3! 3! (7-4)!
A7,4 = 7!
(7-4)!
Seguindo o mesmo raciocineo:
An,p = n(n-1)(n-2)...(n-p+1) = n(n-1)(n-2)...(n-p+1).(n-p)! = n!
(n-p)! (n-p)!
An,p = n!
(n-p)!
Exemplos:
a) A6,2 = n! = 6! = 6.5.4! = 6.5 = 30 (2 fatores)
(n-p)! (6-2)! 4!
b) A9,4 = n! = 9! = 9.8.7.6.5! = 9.8.7.6 = 3024 (4 fatores)
(n-p)! (9-4)! 5!
c) A4,2 = 4! = 4.3.2! = 4.3 = 12 (2 fatores)
(4-2)! 2!
d) A5,4 = 5!/(5-4)! = 5.4.3! = 5.4 = 20
A3,2 3!/(3-2) 3!
Seguindo o mesmo raciocineo:
()
()
